Задача №3.

Исходные данные: два сцепленных зубчатых колеса радиусом r1=0,8 м и r2=0,6 м , находящихся во внешнем зацеплении, вращаются вокруг неподвижных осей О1 и О2; их моменты инерции равны соответственно I1=3,92 кг*м2 и I2=1,96 кг*м2. К первому колесу приложен вращающий момент М1=80 Н*м, ко второму колесу момент сопротивления М2=14,7 Н*м.

Определить угловые скорости этих колес и момент t1=1,3 с и давление одного колеса на другое в точке зацепления. Начальная угловая скорость первого колеса ?0=2 с-1.

Решение:

1. Уравнение динамики для вращательного движения имеет вид:

(1)

где IZ – момент инерции тела относительно оси вращения,

? - угловое ускорение,

Mze – момент всех внешних активных сил относительно оси вращения.

Рассмотрим действие всех сил и моментов в точке сцепления зубьев колес. По Третьему Закону Ньютона зубья колес действуют друг на друга с одинаковой силой, но противоположной по направлению. Поэтому взаимодействие моментов сил и моментов инерции можно записать в виде:

М1-I1?1=M2+I2?2 (2)

Угловое ускорение колеса (1) ?1 можно выразить через ускорение колеса (2) соотношением:

это следует из того, что

?1r1=a?2

?2r2=a?2

a?1=a?2

Подставим в выражение (2) известные значения, получим:

80-3,92*?1=14,7+1,96*1,33*?1,

65,03=6,53*?1,

?1=10 с-1. (3)

Чтобы вычислить угловую скорость проинтегрируем значение углового ускорения (3):

,

,

Для определения постоянной интегрирования запишем начальные условия вращения тела. При t=0 в начальном положении имеем:

,

,

С1=2.

Тогда выражение для углового ускорения будет:

с-1

Угловую скорость второго колеса определим из соотношения

это следует из того, что

?1r1=V?1

?2r2=V?2

V?1= V?2

Отсюда : ?2=1,33*15=19,95 с-1

2. Чтобы определить силу, с которой зубья первого колеса действуют на зубья второго колеса в точке их касания, найдем сумму всех действующих и противодействующих сил и разделим ее пополам исходя из условий третьего Закона Ньютона.

Со стороны первого колеса будет действовать пара сил М1=F1*r1

Н,

и сила, вызванная моментом инерции I1:

Н,

Со стороны второго колеса будет действовать пара сил М2=F2*r2

Н,

и сила, вызванная моментом инерции I1:

Н,

Сумма всех сил, действующих на точку касания зубьев колес, будет:

Н

Сила действия зубьев одного колеса на зубья другого будет:

Н

Площадь касания зубьев мала, поэтому зубьев одного колеса на другое

Будет: Р?FЗ=14,45 Н.

Ответ: ?1=15 с-1, ?2=19,95 с-1, Р?14,45 Н.

Примечаний нет.